Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=

2

，PA=PD=

5

，AD=2，BD=

3

．E、F分別是棱AD，PC的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）求二面角P-AD-B的大��；
（3）證明BE⊥平面PBC．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PB中點M，連接MF，AM，運用中位線定理，證得四邊形AMFE為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可得證；
（2）連接PE，BE．運用等腰三角形的三線合一，即可得到∠PEB為二面角P-AD-B的平面角，再由解直角三角形，即可得到二面角的平面角；
（3）運用線面垂直的判定定理，結(jié)合（2），即可證得BE⊥平面PBC．

解答： （1）證明：如圖，取PB中點M，連接MF，AM．
因為F為PC中點，故MF∥BC且MF=

1

2

BC．
由已知有BC∥AD，BC=AD．
又由于E為AD中點，因而MF∥AE，且MF=AE，
故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM．
又AM?平面PAB，而EF?平PAB．
所以EF∥平面PAB；
（2）解：連接PE，BE．
因為PA=PD，BA=BD，而E為AD中點，故PE⊥AD，BE⊥AD．
所以∠PEB為二面角P-AD-B的平面角．
在△PAD中，由PA=PD=

5

，AD=2，可解得PE=2．
在△ABD中，由BA=BD=

2

，AD=2，可解得BE=1．
在△PEB中，PE=2，BE=1，PB=

3

從而∠PBE=90°
∠PEB=60°．即有二面角P-AD-B的大小為60°；
（3）證明：由（2）得∠PBE=90°即BE⊥PB．
又BC∥AD，BE⊥AD，從而BE⊥BC，
因此BE⊥平面PBC．

點評：本題考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理的運用，考查空間二面角的求法，考查運算和推理的能力，屬于中檔題．