Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的橢圓的切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，從而求出c值，再求出a和b的值，從而求解；
（Ⅱ）切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t），求出切線方程，再把點(diǎn)M代入切線方程，說(shuō)明點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，從而求出定點(diǎn)；

解答： 解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)是（-1，0），故c=1，又

c

a

=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以所求的橢圓Ω方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t）．
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又兩切線均過(guò)點(diǎn)M，
即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是x+

t

3

y=1，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1，0）都適合這個(gè)方程，
故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及計(jì)算能力，是一道難題；