Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中點M，由三角形的中位線定理，結(jié)合已知條件，易證明四邊形MEBF是平行四邊形，且BE∥MF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（Ⅱ） 建立坐標系，求出平面PAB的一個法向量、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的大�。�

解答 解：（Ⅰ）證明：取PD中點為M，連ME，MF．…1分
∵E是PC的中點
∴ME是△PCD的中位線，
∴ME平行且等于$\frac{1}{2}CD$．
∵F是AB中點且ABCD是菱形，
∴AB平行且等于CD，
∴ME平行且等于$\frac{1}{2}AB$．
∴ME平行且等于FB
∴四邊形MEBF是平行四邊形．從而 BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．連接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
建立如圖所示的坐標系，則P（0，0，1），C（$\sqrt{3}$，3，0），D（0，2，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）
易知$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）是平面PAB的一個法向量．
設(shè)平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}x+y=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-z=0$
可取$\overrightarrow{n}=（-1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，
設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳角為θ，則cosθ=$＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{1}{2}$
 故平面PAB與平面PCD所成的銳角為60°．

點評 本題主要考查線面平行的位置關(guān)系的判定，向量法求二面角，要求熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理．綜合性較強．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．