Question

【題目】已知距離為的、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，且、到直線的距離分別為、.問(wèn)能否作出經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)且與直線相切的圓？若能，請(qǐng)寫出作法，畫(huà)圖并求出圓的半徑；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】能夠作出滿足題設(shè)條件的圓

【解析】

能夠作出滿足題設(shè)條件的圓.

作法：1.過(guò)、兩點(diǎn)任作一.

2.作直線交直線于.

3.過(guò)作的切線，為切點(diǎn).

4.以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交直線于、兩點(diǎn).

5.過(guò)、、三點(diǎn)或、、三點(diǎn)作或.

因此，，均為所求作的圓.

證明：是的切線，.

，.

由圓的切割線定理的逆定理知，為的切線，即與相切.

又經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，因此，是符合題設(shè)條件的圓.

同理，也是符合題設(shè)條件的圓.

解法一：如圖.過(guò)、分別作的垂線，垂足分別為、，連結(jié)、.則

.

，，，

，.

由切割線定理，得.

，.

，.

在中，由余弦定理，得.

.

.

又，

由正弦定理，得，故.

如圖.連結(jié)，.，

，

.

在中，由余弦定理，得，.

由正弦定理，得，故.

因此，所求圓的半徑為或.

解法二：如圖.以直線為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，于.則，有，.

設(shè)所求的圓的圓心的坐標(biāo)為，則半徑應(yīng)為.

..

解之，得或.

故所求圓的半徑為或.

注：本題也可先求出，的值，從而由、、作圓.