Question

【題目】在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C，A′在底面ABC上的射影為AB的中點D，E為線段BC的中點．
（1）證明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；
（2）求二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DA′為z軸，建立空間直角坐標系，

設AC=BC=A′A=A′C=2，

則A′（0，0， ），D（0，0，0），C（ ，0，0），B（0， ，0），E（ ，0），B′（0，2 ， ），

=（0，0， ）， =（ ， ，0）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，2 ， ），

設平面A′DE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

設平面BCC′B′的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，1，﹣1），

=1﹣1+0=0，

∴平面A′DE⊥平面BCC′B′

（2）解： =（ ）， =（0，2， ），

設平面DB′C的法向量 =（x1，y1，z1），

則 ，取y1=1，得 =（0，1，﹣ ），

平面BCC′B′的法向量 =（1，1，﹣1），

設二面角D﹣B′C﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = ，∴sinθ= = ．

∴二面角D﹣B′C﹣B的正弦值為 ．

【解析】（1）以D為原點，DC為x軸，DB為y軸，DA′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面A′DE⊥平面BCC′B′．（2）求出平面DB′C的法向量和平面BCC′B′的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣B′C﹣B的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．