【題目】[選修4-5:不等式選講]
設函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0).
(1)求證:f(x)≥8恒成立;
(2)求使得不等式f(1)>10成立的實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)證明:函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣2m|(m>0),
∴f(x)=|x+ |+|x﹣2m|≥|x+ ﹣(x﹣2m)|=| +2m|= +2m≥2 =8,
當且僅當m=2時,取等號,故f(x)≥8恒成立.
(2)證明:f(1)=|1+ |+|1﹣2m|,當m> 時,f(1)=1+ ﹣(1﹣2m),不等式即 +2m>10,
化簡為m2﹣5m+4>0,求得m<1,或m>4,故此時m的范圍為( ,1)∪(4,+∞).
當0<m≤ 時,f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m關于變量m單調(diào)遞減,
故當m= 時,f(1)取得最小值為17,
故不等式f(1)>10恒成立.
綜上可得,m的范圍為(0,1)∪(4,+∞).
【解析】(1)利用絕對值三角不等式、基本不等式證得f(x)≥8恒成立.(2)當m> 時,不等式即 +2m>10,即m2﹣5m+4>0,求得m的范圍.當0<m≤ 時,f(1)=1+ +(1﹣2m)=2+ ﹣2m關于變量m單調(diào)遞減,求得f(1)的最小值為17,可得不等式f(1)>10恒成立.綜合可得m的范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關鍵是去掉絕對值的符號.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四面體A﹣BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2 ,AD=BC=2 ,則四面體A﹣BCD外接球的表面積為( )
A.50π
B.100π
C.200π
D.300π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線l過定點P(1,1),且傾斜角為 ,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸的坐標系中,曲線C的極坐標方程為 .
(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于不同的兩點A,B,求|AB|及|PA||PB|的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2016世界特色魅力城市200強新鮮出爐,包括黃山市在內(nèi)的28個中國城市入選.美麗的黃山風景和人文景觀迎來眾多賓客.現(xiàn)在很多人喜歡自助游,某調(diào)查機構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關,在黃山旅游節(jié)期間,隨機抽取了100人,得如下所示的列聯(lián)表:
贊成“自助游” | 不贊成“自助游” | 合計 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 10 | ||
合計 | 100 |
(1)若在100這人中,按性別分層抽取一個容量為20的樣本,女性應抽11人,請將上面的列聯(lián)表補充完整(在答題卡上直接填寫結(jié)果,不需要寫求解過程),并據(jù)此資料能否在犯錯誤的概率不超過0.05前提下,認為贊成“自助游”是與性別有關系?
(2)若以抽取樣本的頻率為概率,從旅游節(jié)游客中隨機抽取3人贈送精美紀念品,記這3人中贊成“自助游”人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望. 附:K2=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面上,點A、C為射線PM上的兩點,點B、D為射線PN上的兩點,則有 (其中S△PAB、S△PCD分別為△PAB、△PCD的面積);空間中,點A、C為射線PM上的兩點,點B、D為射線PN上的兩點,點E、F為射線PL上的兩點,則有 =(其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分別為四面體P﹣ABE、P﹣CDF的體積).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】渝州集團對所有員工進行了職業(yè)技能測試從甲、乙兩部門中各任選10名員工的測試成績(單位:分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(1)若公司決定測試成績高于85分的員工獲得“職業(yè)技能好能手”稱號,求從這20名員工中任選三人,其中恰有兩人獲得“職業(yè)技能好能手”的概率;
(2)公司結(jié)合這次測試成績對員工的績效獎金進行調(diào)整(績效獎金方案如表),若以甲部門這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計該部門總體數(shù)據(jù),且以頻率估計概率,從甲部門所有員工中任選3名員工,記績效獎金不小于3a的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望.
分數(shù) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
獎金 | a | 2a | 3a | 4a |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AC=BC=A′A=A′C,A′在底面ABC上的射影為AB的中點D,E為線段BC的中點.
(1)證明:平面A′DE⊥平面BCC′B′;
(2)求二面角D﹣B′C﹣B的正弦值.
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