Question

3．在數(shù)列{a_n}中，已知${S_n}={2^n}-1$，則a₁²+a₂²+…+a_n²等于（　�。�

• A． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• B． $\frac{（{2}^{n}-1）^{2}}{3}$
• C． 4ⁿ-1
• D． （2ⁿ-1）²

Answer 1

分析 通過${S_n}={2^n}-1$，當n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1，進而計算可知數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是首項為1、公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結論．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-1$，
∴a₁=S₁=2-1=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
∴a_n=2^n-1，${{a}_{n}}^{2}$=4^n-1，
∴數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是首項為1、公比為4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．