Question

1．已知f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，g（x）=$\frac{k}{x}$，且k為大于1的正整數(shù)．
（1）求f（x）在（0，1）上的單調(diào)區(qū)間
（2）若對(duì)任意c＞1均存在a，b滿(mǎn)足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到原函數(shù)的單調(diào)性．
（2）對(duì)?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化為x＞1時(shí)，g（x）的圖象始終在f（x）的圖象的下方，從而作圖解得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，
∴f（x）定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
f′（x）=-$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$，
在0＜x＜1時(shí)，判斷f′（x）的正負(fù)，只需判斷分子的符號(hào)即可，
令h（x）=1+xlnx，
得h′（x）=1+lnx，在0＜x＜1時(shí)，h′（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，1）上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$）上是單調(diào)遞減的．
∴h（x）的最小值為h（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴f′（x）在區(qū)間（0，1）上恒負(fù)，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞減的．
（2）①當(dāng)k=1時(shí)，作函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，與g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N*） 的圖象如下：

k=1，對(duì)?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
②當(dāng)k=2時(shí)，作函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，與g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的圖象如下：

k=2，對(duì)?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
③當(dāng)k=3時(shí)，作函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，與g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的圖象如下：

k=3，對(duì)?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
④當(dāng)k=4時(shí)，作函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，與g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的圖象如下：

k=4，不正確．
故答案為3

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的作圖能力，屬于難題．