Question

15．當x∈[-2，1]時，不等式ax³-x²+x+1≥0，則a的取值范圍是{-1}．

Answer 1

分析 分x=0，x＞0，x＜0三種情況討論，分離參數(shù)a后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，從而求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當x=0時，對于任意實數(shù)a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；
當0＜x≤1時，不等式ax³-x²+x+1≥0等價于$a≥-\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
設(shè)t=$\frac{1}{x}$ （t≥1），則f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
當t≥1時，f′（t）＜0，
∴f（t）=-t³-t²+t為減函數(shù)，
∴f（t）_max=f（1）=-1-1+1=-1，
∴a≥-1；
當-2≤x＜0時，不等式ax³-x²+x+1≥0等價于$a≤-\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
設(shè)t=$\frac{1}{x}$ （t$≤-\frac{1}{2}$），
則f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
當t∈（-∞，-1）時，f′（t）＜0，f（t）為減函數(shù)，
當t∈（-1，-$\frac{1}{2}$）時，f′（t）＞0，f（t）為增函數(shù)，
∴f（t）_min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
綜上a=-1，
即對于一切x∈[-2，1]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的實數(shù)a的取值范圍是{-1}，
故答案為：{-1}．

點評 本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中高檔題．