Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的值滿足f（x）＜0，對任意實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）f（y），且f（﹣1）=1，f（27）=9，當0＜x＜1時，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤ ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=﹣1，可得f（1）=1…（2分）令y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）f（﹣1），∵f（﹣1）=1，∴f（﹣x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)
（2）解：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

證明如下：若x＞0，則f（x）=f（ ）≥0．

若存在x0＞0，使得f（x0）=0，則f（27）=f（ ）=f（ ）×f（x0）=0與已知矛盾，

∴當x＞0時，f（x）＞0

設：0＜x1＜x2，∴ ，由題設知

且 ，∴ …（8分）

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：∵f（27）=9，而f（27）=f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]3∴ ∵

∴f（a+1）≤f（3），∴a+1≤3，a≥00≤a≤2．

∴a的取值范圍：[0，2]

【解析】（1）利用賦值法，令y=﹣1，代入抽象函數(shù)表達式即可證明函數(shù)的奇偶性；（2）先證明當x＞0時，f（x）＞0，再利用已知和單調函數(shù)的定義，證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調性；（3）先利用賦值法求得f（3）= 再利用函數(shù)的單調性解不等式即可