Question

若定義域為R的奇函數f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則下列結論：
①f（x）的圖象過點（1，0）；
②f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③f（x）是周期函數，且2是它的一個周期；
④f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調函數；
其中正確結論的序號是

 

（填上你認為所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據奇函數f（0）=0和條件判斷①；再由奇函數的性質和條件的f（1+x）=f（-x）得，函數的對稱軸方程判斷②；再由f（1+x）=-f（x）求出函數的周期判斷③；根據函數的對稱軸判斷④．

解答： 解：∵定義域為R的奇函數f（x）滿足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，則f（x）的圖象過點（1，0），①正確；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，②不正確；
令x取x+1代入f（1+x）=-f（x）得，f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
則f（x）是周期函數，且2是它的一個周期，③正確；
∵f（x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上不是單調函數，
則④不正確；
故答案為；①③．

點評：本題考查了函數奇偶性、周期性、對稱性和單調性的綜合應用，關鍵是熟練掌握函數奇偶性、周期性、對稱性的定義、性質，以及利用賦值法對等式進行靈活變形．