Question

2．已知數(shù)列{a_n}的首項為a（a≠0），前n項和為S_n，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)t≠1時，若c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，求能夠使數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的所有數(shù)對（a，t）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，由S₂=tS₁+a解得a₂=at
當(dāng)n≥2時，S_n=tS_n-1+a，
∴（S_n+1-S_n）=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=ta_n
又a₁=a≠0，綜上有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=t（n∈N*）$，即{a_n}是首項為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴${a_n}=a{t^{n-1}}$…（3分）
（2）∵t≠1，∴${b_n}=1+\frac{{a-a{t^n}}}{1-t}$…（4分）
∴${c_n}=2+（1+\frac{a}{t-1}）n-\frac{a}{1-t}（t+{t^2}+…+{t^n}）=2+（1+\frac{a}{t-1}）n-\frac{{at（1-{t^n}）}}{{{{（1-t）}^2}}}$=$2-\frac{at}{{{{（1-t）}^2}}}+（1+\frac{a}{t-1}）n+\frac{{a{t^{n+1}}}}{{{{（1-t）}^2}}}$…（6分）
由題設(shè)知{c_n}為等比數(shù)列，
所以有，$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{at}{{{{（1-t）}^2}}}=0\\ \frac{1-t+a}{1-t}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ t=2\end{array}\right.$，即滿足條件的數(shù)對是（1，2）．…（8分）
（或通過{c_n}的前3項成等比數(shù)列先求出數(shù)對（a，t），再進(jìn)行證明）

點評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，以及等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力．