Question

7．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫

氣溫（℃）	14	12	8	6
用電量	22	26	34	38

（1）求用電量y與氣溫x之間的線性回歸方程，
（2）由（1）的方程預(yù)測(cè)氣溫為5℃時(shí)，用電量的度數(shù)．
參考公式：$\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}）（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}{）^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \overline a=\overline y-b\overline x\end{array}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）將x=5代入線性回歸方程，可估計(jì)氣溫為5℃時(shí)，用電量的度數(shù)．

解答 解：（1）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得$\sum _{i=1}^{4}$x_i=40，$\sum _{i=1}^{4}$y_i=120，$\overline{x}$=10，$\overline{y}$=30，
∴回歸方程的系數(shù)為b=$\frac{\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{-80}{40}$=-2，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=30+2×10=50，
∴所求線性回歸方程為$\hat{y}$=-2x+50；
（2）由（1）得用電量y與氣溫x之間的線性回歸方程$\hat{y}$=-2x+50；
當(dāng)x=5時(shí)，$\hat{y}$=-2×5+50=40；
即氣溫為5℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為40度．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中．