已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸的乘積為
3
，C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與直線F1F2的夾角為tanψ=
21
2
，l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求雙曲線C的方程．
如圖，以F1F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
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直線PQ的方程為y=
21
2
(x-c)，則P(0，-
21
2
c)，
由線段的定比分點坐標(biāo)公式得xQ=
0+2c
1+2
=
2c
3
，yQ=
-
21
2
c+0
1+2
=-
21
6
c．
∴(
2c
3
，-
21
6
c)．
代入雙曲線的方程得
4c2
9a2
-
21c2
36b2
=1，整理得16(
b
a
)4-41(
b
a
)2-21=0，
解得(
b
a
)2=3，或(
b
a
)2=-
7
16
．（舍去）．
∴
b
a
=
3
．又ab=
3
，
∴b=
3
，a=1．
故所求的雙曲線方程為x2-
y2
3
=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，實半軸長與虛半軸長的乘積為
3
，直線l過點F2，且與線段F1F2的夾角為α，tanα=
21
2
，直線l與線段F1F2的垂直平分線的交點為P，線段PF2與雙曲線的交點為Q，且
PQ
=2
QF2
，求雙曲線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1991•云南）已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸的乘積為
3
，C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與直線F1F2的夾角為tanψ=
21
2
，l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸長的乘積為,C的兩個焦點分別為F1、F2,直線l過F2且與直線F1F2的夾角為φ,,l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P,線段PF2與雙曲線C的交點為Q,且|PQ|∶|QF2|=2∶1,求雙曲線C的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：1991年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（湖南、云南、海南）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸的乘積為，C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與直線F1F2的夾角為tanψ=，l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求雙曲線C的方程．

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