Question

某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品投入固定資本20萬元，以后生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品需要再投入可變資本a（x²-1）萬元，收入資金為R（x）=160x-3.8x²-1480.2萬元，已知當生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品時，投入生產(chǎn)資金可達到39.8萬元．
（1）判斷生產(chǎn)每件產(chǎn)品所需可變資本函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求計劃生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，利潤最大？最大是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用當生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品時，投入生產(chǎn)資金可達到39.8萬元，求出a，可得函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)，可得生產(chǎn)每件產(chǎn)品所需可變資本函數(shù)的單調(diào)性；
（2）確定函數(shù)解析式，利用配方法求最值即可．

解答： 解：（1）由題意得：

a(100-1)

10

=39.8-20，解得a=2，
∴生產(chǎn)每件產(chǎn)品所需可變資本函數(shù)y=2x-

2

x

，
∵y′=2+

2

x2

，∴生產(chǎn)每件產(chǎn)品所需可變資本函數(shù)為增函數(shù)；
（2）設(shè)計劃生產(chǎn)x件產(chǎn)品時利潤f（x）最大，則有f（x）=160x-3.8x²-1480.2-2（x²-1）=-5.8x²+160x-1478.2，
故當x=

400

29

萬件時，利潤最大．最大利潤為f（

400

29

）=705.9萬元．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．