Question

已知f（x）=x²ln（ax）（a>0）。
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在x=處的切線(xiàn)斜率為3e，求a的值；
（2）求f（x）在[，]上的最小值。

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²·=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（）=[2ln（a·）+1]，
∴a=1。
（2）由題知x>0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，則2ln（ax）+1=0，得x=，
①當(dāng)a≥1時(shí)，≤
當(dāng)x∈[，]時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在[，]上是增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）==（lna-）；
②當(dāng)＜a＜1時(shí)，。
當(dāng)x∈[，）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈[，]時(shí)，f′（x）>0，
∴f（x）在[，]上是減函數(shù)，
在[，]上為增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）=；
③當(dāng)0＜a≤時(shí)，
當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在上是減函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）=elna=e（lna+）。