Question

已知f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）若曲線y=f（x）在x=處的切線斜率為3e，求a的值；
（2）求f（x）在[，]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)在x=處的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)處的切線的斜率，求出a值．（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值求函數(shù)的最小值
解答：解：（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²•=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（）=[2ln（a•）+1]，
解得a=1．
（2）由題知x＞0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，則2ln（ax）+1=0，得x=，
①當(dāng)a≥1時，≤．
當(dāng)x∈[，]時，f′（x）≥0，
∴f（x）在[，]上是增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）=ln=（lna-）；
②當(dāng)＜a＜1時，＜＜．
當(dāng)x∈[，）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈[，]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[，]上是減函數(shù)，在[，]上為增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）=ln=-；
③當(dāng)0＜a≤時，≥．
當(dāng)x∈[，]時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[，]上是減函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（）=elna=e（lna+）．
綜上所述：當(dāng)a≥1時，f（x）在[，]上的最小值為（lna-）；
當(dāng)＜a＜1時，f（x）在[，]上的最小值為-；
當(dāng)0＜a≤時，f（x）在[，]上的最小值為e（lna+）．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，分類討論的思想方法