Question

已知函數(shù)f（x）=

log2x，x＞0 2x，x≤0

，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx有零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，+∞）
• B、[

  1

  eln2

  ，+∞）
• C、（-∞，

  1

  eln2

  ]
• D、（-∞，1）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出f（x）的圖象，函數(shù)g（x）=f（x）-kx有零點，即為y=f（x）的圖象和直線y=kx有交點，作出直線y=kx，由圖象觀察k≤0，直線和曲線有交點，設(shè)直線y=kx與曲線y=log₂x相切的切點為p（m，n），運用導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由圖象觀察即可得到k的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

log2x，x＞0 2x，x≤0

，
畫出f（x）的圖象，
函數(shù)g（x）=f（x）-kx有零點，
即為y=f（x）的圖象和直線y=kx有交點，
作出直線y=kx，
由圖象觀察k≤0，直線和曲線有交點，
設(shè)直線y=kx與曲線y=log₂x相切的切點
為p（m，n），由于（log₂x）′=

1

xln2

，即切線的斜率為

1

mln2

=k，
又n=km，n=log₂m，解得m=e，k=

1

eln2

，
則k＞0時，直線與曲線有交點，則0＜k≤

1

eln2

，
綜上，可得實數(shù)k的取值范圍是：（-∞，

1

eln2

]．
故選C．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，屬于中檔題．