Question

17．在四面體A-BCD中，AB=AD=CD=2，CB=4，面ABD⊥面CBD，CD⊥BD，則四面體A-BCD的體積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥BD，則AE為棱錐的高，利用勾股定理求出BD，AE，代入體積公式計算即可．

解答 解：取BD中點E，連結(jié)AE．
∵AB=AD，E是BD的中點，
∴AE⊥BD，
∵面ABD⊥面CBD，面ABD∩面CBD=BD，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，
∵CD⊥BD，∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴BE=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=1．
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．