Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-|x-3|．有下列命題：
①若函數(shù)所有極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在同一條直線上，則c=1；
②從左起第n個(gè)極大值點(diǎn)的坐標(biāo)是（3•2^n-2，c^n-2）；
③c=1時(shí)，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]有6個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)1≤x≤8時(shí)，函數(shù)f（x）圖象與x軸所圍成圖形面積的最小值等于3．
其中，正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①由已知的兩個(gè)條件，可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．
②由①得到的極值點(diǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷；
③畫出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的圖象，由圖象觀察即可判斷；
④分別求出三段的三角形的面積，求和，運(yùn)用基本不等式，即可求出最小值．

解答： 解：①當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-|x-3|．當(dāng)1≤x＜2時(shí)，2≤2x＜4，
則f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

（1-|2x-3|），此時(shí)當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)取極大值

1

c

；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-|x-3|；此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極大值1
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，2＜

x

2

≤4，則f（x）=cf（

x

2

）=c（1-|

x

2

-3|），此時(shí)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)取極大值c．
由于函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，
即點(diǎn)（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共線，

c-1

3

=

2

3

•（1-

1

c

），解得c=1或2．故①錯(cuò)誤；
②由①可知，極大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為

3

2

，公比為2，
縱坐標(biāo)也成等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

c

，公比為c，則從左起第n個(gè)極大值點(diǎn)的坐標(biāo)是（3•2^n-2，c^n-2），故②正確；
③c=1時(shí)，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]，畫出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的圖象，由圖象可得有4個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)；
④當(dāng)1＜x＜2時(shí)，三角形的面積為

1

2

×1×

1

c

，2＜x＜4時(shí)，三角形的面積為

1

2

×2×1=1，
當(dāng)4＜x＜8時(shí)，
三角形的面積為

1

2

×4×c=2c．
故面積和為：
1+2c+

1

2c

≥1+2=3．當(dāng)且僅當(dāng)c=

1

2

，取最小值3．故④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的極值概念，函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，同時(shí)考查數(shù)列通項(xiàng)，點(diǎn)共線問題及直線的斜率問題，是一道綜合題，有一定的難度．