Question

已知函數(shù)f（x）=x²-

1

2

x+

1

4

，g（x）=2x-

1

2

．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+g（n）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）
（i）當(dāng)b=

1

2

時，數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列{b_n}的通項a_n；若不是，請說明理由；
（ii）當(dāng)

1

2

＜b＜1時，求證：

n

i=1

1

bi

＜

2

2b-1

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．代入條件找到數(shù)列{a_n}的遞推公式，再對遞推公式利用構(gòu)造法找到一個等比數(shù)列的通項，就可求出數(shù)列{a_n}的通項a_n；（Ⅱ）（ⅰ）先求出數(shù)列{b_n}的遞推公式，再把b=

1

2

代入即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．（ⅱ）先求出數(shù)列{b_n}的遞推公式，轉(zhuǎn)化為

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）a_n+1=g（a_n）+g（n）=2a_n+2n-1可化為
a_n+1+2（n+1）+1=2（a_n+2n+1），
則{a_n+2n+1}是以a₁+3=1+3=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+2n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
則a_n═2ⁿ⁺¹-2n-1．
（2）
（i）由b_n+1=2f（b_n）=2（bn2-

1

2

bn+

1

4

），
∵b₁=b=

1

2

，∴b₂=2（(

1

2

)2-

1

2

•

1

2

+

1

4

）=

1

2

，
則可知b_n=

1

2

．
數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b_n=

1

2

（n∈N^*）．
（ii）∵bn+1=2bn2-bn+

1

2

，
∴b_n+1-b_n=2（b_n-

1

2

）²
∴當(dāng)

1

2

＜b＜1時，b2＞b1＞

1

2

；
假設(shè)bk＞

1

2

，則bk+1＞bk＞

1

2

．
則bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)
又∵b_n+1-

1

2

=2bn(bn-

1

2

)，
∴

1

bn+1- 1 2

=

1

bn- 1 2

-

1

bn

，
即

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

，
∴

n

i=1

1

bi

=

n

i=1

1

bi- 1 2

-

1

bi+1- 1 2

=

1

b1- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

，
又∵bn＞

1

2

，(n=1，2，3，…)，
∴

n

i=1

1

bi

＜

1

b1- 1 2

=

2

2b-1

．

點評：本題是對數(shù)列與函數(shù)的綜合以及數(shù)學(xué)歸納法的綜合考查．在數(shù)列與函數(shù)的綜合題中，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性來研究數(shù)列的單調(diào)性，或是利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來研究數(shù)列．