已知函數(shù).其中.
(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
(2)若f(x)≤g(x)-1對(duì)任意x>0恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)當(dāng)<0時(shí),對(duì)于函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點(diǎn)A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.
(1) ;(2)2; (3)
【解析】
試題分析:(1)因?yàn)?/span>曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,所以分別對(duì)這兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo),可得導(dǎo)函數(shù)在x=1處的斜率相等,即可求出的值以及求出兩條切線方程.再根據(jù)平行間的距離公式求出兩切線的距離.
(2) 由f(x)≤g(x)-1對(duì)任意x>0恒成立,所以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),在x>0時(shí)求出函數(shù)的最值符合條件即可得到的范圍.
(3)根據(jù)(2)所得的結(jié)論當(dāng)當(dāng)<0時(shí),由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以根據(jù)可以得到函數(shù)與變量的關(guān)系式,從而構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),得到的范圍.
試題解析:(1),依題意得: =2;
曲線y=f(x)在x=1處的切線為2x-y-2=0,
曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為2x-y-1=0.兩直線間的距離為
(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,則
當(dāng)≤0時(shí), 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,又h(1)=0,故0<x<1時(shí),h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,與題設(shè)矛盾.
當(dāng)>0時(shí),
當(dāng),當(dāng)時(shí),
所以h(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
∴h(x)≤
因?yàn)?/span>h(1)=0,又當(dāng)≠2時(shí),≠1,與不符.所以=2.
(3)當(dāng)<0時(shí),由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2|
等價(jià)于h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2,令H(x)=h(x)+x=lnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∵ (x>0),∴-2x2+x+≤0在x>0時(shí)恒成立,∴≤(2x2-x)min又x>0時(shí), (2x2-x)min=
∴a≤-,又a<0,∴a的取值范圍是.
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題.3.函數(shù)方程間的等價(jià)變化轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題從而解決問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年哈九中)已知函數(shù)其中,
(1)若在時(shí)存在極值,求的取值范圍;
(2)若在上是增函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知函數(shù)其中,,
(1)若求的值;
(2)在(1)的條件下,若函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于,求函數(shù)的解析式;并求最小正實(shí)數(shù),使得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年湖北省仙桃市高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題共14分)已知函數(shù)其中常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求m的取值范圍;
(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí),若在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)的“類對(duì)稱點(diǎn)”,請(qǐng)你探究當(dāng)時(shí),函數(shù)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)最少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年湖北省高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知函數(shù)其中常數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),給出兩類直線:與,其中為常數(shù),判斷這兩類直線中是否存在的切線,若存在,求出相應(yīng)的或的值,若不存在,說(shuō)明理由.
(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,當(dāng)若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對(duì)稱點(diǎn)”,當(dāng)時(shí),試問(wèn)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年福建省高三第二次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知函數(shù)其中實(shí)數(shù)。
(1)-2,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)x=1處取得極值,試討論的單調(diào)性。
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