Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＜e．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）＜f（0）=0；
（Ⅱ）f′（x）=

1

x+1

-a=

(1-a)-ax

x+1

，分a≥0和a＜0，討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）要證：（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＜e，兩邊取以e為底的對數(shù)，即只需證明ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

4

）+…+ln（1+

1

2n

）＜1，
由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分別取x=

1

2

，

1

4

，…，

1

2n

，即可得出結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）證明：∵a=1，∴f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0．
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）-ax，∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴f′（x）=

1

x+1

-a=

(1-a)-ax

x+1

，
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（-1，-1+

1

a

）上，f′（x）＞0，x∈（-1+

1

a

，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，-1+

1

a

）單調(diào)遞增，在（-1+

1

a

，+∞）單調(diào)遞減，
（Ⅲ）證明：要證：（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＜e，兩邊取以e為底的對數(shù)，即只需證明
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

4

）+…+ln（1+

1

2n

）＜1，
由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分別取x=

1

2

，

1

4

，…，

1

2n

，得到
ln（1+

1

2

）＜

1

2

，ln（1+

1

4

）＜

1

4

，…，ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

，
將上述n個(gè)不等式相加，得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

4

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1．
從而結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值等知識(shí)，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的運(yùn)用能力，綜合性、邏輯性強(qiáng)，屬于難題