Question

已知：如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AC=BC=2，沿其中位線DE將平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱錐A-BCDE，設(shè)CD、BE、AE、AD的中點(diǎn)分別為M、N、P、Q．

（1）求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面；
（2）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求異面直線BE與MQ所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,空間圖形的公理,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證四點(diǎn)共線，只需找到一個(gè)平面，是這四個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，用確定平面的方法，兩條平行線確定一個(gè)平面，即可證出；
（2）要證明兩個(gè)平面垂直，只需證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可，也就是只需證線面垂直即可，而要證線面垂直，只需證明這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，這樣，一步步尋找成立的條件．
（3）求異面直線所成角，先平移兩條異面直線中的一條，使它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角或其補(bǔ)角，再放入三角形中計(jì)算即可．

解答： （1）證明：由條件有PQ為△ADE的中位線，MN為梯形BCDE的中位線，
∴PQ∥DE，MN∥DE，
∴PQ∥MN
∴M、N、P、Q四點(diǎn)共面．…（3分）
（2）證明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC
又AD∩CD=D，
∴DE⊥面ACD，
又DE∥BC
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD…（6分）
（3）解：由條件知AD=1，DC=1，BC=2，
延長(zhǎng)ED到R，使DR=ED，連結(jié)RC    …（8分）
則ER=BC，ER∥BC，故BCRE為平行四邊形 …（10分）
∴RC∥EB，又AC∥QM
∴∠ACR為異面直線BE與QM所成的角θ（或θ的補(bǔ)角）…（11分）
∵DA=DC=DR，且三線兩兩互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=

2

，…（12分）
∵△ACR為正三角形，
∴∠ACR=60°，
∴異面直線BE與QM所成的角大小為60°．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面垂直，四點(diǎn)共線，以及異面直線所成角的求法，是立體幾何中的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握．