Question

已知函數(shù)y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定義域為M，
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M時，求函數(shù)f（x）=2log₂²x+alog₂x的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)平方根的性質(zhì)，列出關(guān)于x的不等式組，求得函數(shù)的定義域，結(jié)果寫成區(qū)間或集合形式；
（2）令t=log₂x，則原函數(shù)化為y=2t²+at，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，因含有字母參數(shù)，注意分類討論．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數(shù)y=

2-x 2+x

+

2x-2

有意義，只需

(x-2)(x+2)≤0 2x-2≥0，且x≠-2

解得：x∈[1，2]．
（Ⅱ）∵f(x)=2log22x+alog₂x，令t=log₂x，t∈[0，1]
則函數(shù)可化為g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，其對稱軸 t=-

a

4

，
當(dāng)-

a

4

≤

1

2

，即a≥-2時，g（t）_max=g（1）=2+a，
當(dāng)-

a

4

＞

1

2

，即a＜-2時，g（t）_max=g（0）=0，
綜上可得：f(x)max=

2+a，a≥-2 0，a＜-2

．

點評：若函數(shù)沒有實際背景，則其定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，一般是列出不等式組求解；第二問采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題，注意分類討論的依據(jù)是對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，一般分為區(qū)間左、區(qū)間右、區(qū)間內(nèi)（若需要的話，討論對稱軸離區(qū)間左端點近、右端點近）幾種情況．