Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O是△ABC所在平面內一點，且|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 以B為原點建立坐標系，設A（x，y），O（cosα，sinα），根據(jù)$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$列方程得出x，y與α的關系，求出|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|²關于α的函數(shù)f（α），利用導數(shù)求出f（α）的最小值．

解答 解：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖，設C（x，0），A（x，y）．

∵|$\overrightarrow{OB}$|=1，∴O在單位圓B上．設O（cosα，sinα）．
則$\overrightarrow{BO}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{BA}$=（x，y），$\overrightarrow{BC}=（x，0）$．
∵$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}$=1，$\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα+ysinα=1}\\{xcosα=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα=\frac{1}{2}}\\{ysinα=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2cosα}}\\{y=\frac{1}{2sinα}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$=（2x+cosα，y+sinα）．
∴|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|²=4x²+y²+4xcosα+2ysinα+1=4x²+y²+4=$\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}+4$．
令f（α）=$\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{4si{n}^{2}α}+4$．則f′（α）=$\frac{2sinα}{co{s}^{3}α}-\frac{cosα}{2si{n}^{3}α}$．
令f′（α）=0得4sin⁴α=cos⁴α．∴sin²α=$\frac{1}{3}$，cos²α=$\frac{2}{3}$．
∴f_min（α）=$\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+4$=$\frac{25}{4}$．
∴|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BO}$|的最小值為$\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，函數(shù)的最值，屬于中檔題．