Question

7．已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，C為E上的一點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成頂角為120°的等腰三角形，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{8\sqrt{3}-9}{3}}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 可設(shè)C為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一點(diǎn)，由題意可得∠ABC=120°，|BC|=|AB|=2a，由三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)C為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一點(diǎn)，
由題意可得∠ABC=120°，|BC|=|AB|=2a，
可得C（a+2acos60°，2asin60°）即（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線的方程可得，
$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，化簡可得a=b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程，以及三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．