Question

18．圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)“福娃迎迎”．

（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系式（不需寫出證明過程）；
（3）根據(jù)你得到的關(guān)系式求f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由題意，可以求出f（5）；
（2）考查相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系可得出f（n+1）-f（n）=4n；
（3）由累加法可求得f（n）=2n²-2n+1，由此可求出答案．

解答 解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41．…（4分）
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n．…（10分）
（3）∵f（2）-f（1）=4×1，f（3）-f（2）=4×2，f（4）-f（3）=4×3，f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），f（n）-f（n-1）=4•（n-1），
∴f（n）-f（1）=4[1+2++（n-2）+（n-1）]=2（n-1）•n，…（14分）
∴f（n）=2n²-2n+1（n≥2），
∵f（1）=1也滿足上式，∴f（n）=2n²-2n+1． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是研究相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系得出遞推公式，再由累加法得出項(xiàng)的表達(dá)式，本題考查了分析歸納的能力，屬于中檔題．