Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x|x-2|，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+a+1=0（a∈R）恰好有12個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（-1，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式，令t=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，由二次方程實(shí)根的分布，列出不等式組，解得即可．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，滿足表達(dá)式f（x）=x|x-2|．
∴f（-x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x|x+2|，
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x|x+2|．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x|x-2|，}&{x≥0}\\{-x|x+2|，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
由圖象知，當(dāng)t＞1時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t=1時(shí)，t=f（x）有四個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t=f（x）有六兩個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，t=f（x）有三個(gè)根，
當(dāng)t＜0時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
則方程[f（x）]²+af（x）+a+1=0等價(jià)為t²+at+a+1=0，
若方程[f（x）]²+af（x）+a+1=0（a∈R）恰好有12個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
等價(jià)為方程t²+at+a+1=0有兩不同的根，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1，
設(shè)g（t）=t²+at+a+1，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（a+1）＞0}\\{g（0）=a+1＞0}\\{g（1）=2a+2＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a＞-1}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$，
即-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$，
則a的取值范圍為（-1，2-2$\sqrt{2}$），
故答案為：（-1，2-2$\sqrt{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用，主要考查方程與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，掌握二次方程實(shí)根的分別是解題的關(guān)鍵．