Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+cosx，a為是常數(shù)，x∈R．
（1）請指出函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）當(dāng)a=

3

，x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義分別通過f（-x）=f（x）與f（-x）=-f（x），求得a．
（2）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=-asinx+cosx=f（x）
即-asinx+cosx=asinx+cosx，
∴2asinx=0，
∴a=0，
∴當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)． 
由f（-x）=-f（x）
∴-asinx+cosx=-asinx-cosx，
∴2cosx=0，
僅對x-kπ+

π

2

，k∈Z成立，
∴f（x）是不是奇函數(shù)．
綜上：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a=

3

時(shí)，f(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
由x∈[0，

π

2

]，得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1．
∴f（x）∈[1，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)能熟練記憶并靈活運(yùn)用．