Question

20．已知集合$A=\left\{{x\left|{\frac{6}{x-1}＞1}\right.}\right\}$，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求A∩B；
（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A中不等式的解集確定出A，把a(bǔ)=4代入B中求出解集確定出B，找出兩集合的交集即可；
（2）由A與B的并集為B，得到A為B的子集，分三種情況考慮，①當(dāng)a=-1時(shí)；②當(dāng)a+2＞-a時(shí)；③當(dāng)a+2＜-a時(shí)，分別求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：A={x|1＜x＜7}，
當(dāng)a=4時(shí)，B={x|-4＜x＜6}，
∴A∩B={x|1＜x＜6}；
（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，
①當(dāng)a=-1時(shí)，可得B=∅，顯然A⊆B不成立；             
②當(dāng)a+2＞-a，即a＞-1時(shí)，B={x|-a＜x＜a+2}，
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-a≤1}\\{a+2≥7}\end{array}\right.$，
解得：a≥5；
③當(dāng)a+2＜-a，即a＜-1時(shí)，B={x|a+2＜x＜-a}，
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≤1}\\{-a≥7}\end{array}\right.$，
解得：a≤-7，
綜上，當(dāng)A∪B=B時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-7或a≥5}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了并集及其運(yùn)算，交集及其運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．