Question

9．已知正三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，○O是該三角形的內(nèi)切圓，P是圓O上的任意一點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為1．

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積公式把$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$化為三角函數(shù)形式，利用和差化積公式化為一個角的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的值域求得最大值．

解答 解：如圖所示，由正△ABC邊長等于2$\sqrt{3}$，點P在其內(nèi)切圓上運(yùn)動．
∴∠AOB=120°，設(shè)AB的中點為D，則半徑r=OD=$\frac{AD}{tan∠AOD}$=$\frac{\sqrt{3}}{tan60°}$=1．
OA=OB=0C=2r=2．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}$+${\overrightarrow{OP}}^{2}$
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$•2$\overrightarrow{OD}$+1
=2×2×cos120°-1×2×cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞+1
=-1-2•cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞，
故當(dāng)＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OD}$＞=π 時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為-1+2=1，
故答案為：1．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式，正弦定理及三角函數(shù)的和差化積公式，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．