Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，且各項均滿足a_n+2=a_n+1+2a_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），可判斷{a_n+1+a_n}是等比數(shù)列，從而可得a_n+1+a_n=5•2^n-1①；由a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同減2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），可判斷{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，從而可得a_n+1-2a_n=2•（-1）^n-1②，聯(lián)立①②可得結(jié)果．

解答： 解：a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），
又a₁=1，a₂=4，∴{a_n+1+a_n}是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=5•2^n-1①；
a_n+2=a_n+1+2a_n，兩邊同減2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），
∴{a_n+1-2a_n}是首項為2，公比為-1的等比數(shù)列，
∴a_n+1-2a_n=2•（-1）^n-1②，
由①②得an=

5

3

•2n-1-

2

3

•(-1)n-1．

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等比數(shù)列的定義及通項公式，考查學生推理論證能力、分析問題解決問題的能力．