Question

12．設(shè)a∈R，則“a=1是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：若a=1時(shí)，f（x）=ln（1+$\frac{2}{x-1}$）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
由$\frac{x+1}{x-1}＞0$，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
又f（-x）+f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$+ln$\frac{-x+1}{-x-1}$=ln（$\frac{x+1}{x-1}$•$\frac{x-1}{x+1}$）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．即充分性成立．
若f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）+ln（a+$\frac{2}{-x-1}$）=0，
化為（a-1）[（a+1）（x²-1）+4]=0，此式對(duì)于定義域內(nèi)的任意x皆成立，必有a=1，
由上面可知a=1滿足題意，即必要性成立．
故“a=1”是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)”的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．