Question

7．直線x+y-3=0與圓x²+y²-3x+my+m²=0有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q．若斜率k_OP+k_OQ=1（O為原點(diǎn)）．則實(shí)數(shù)m的值為0．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），把直線x+y-3=0與圓x²+y²-3x+my+m²=0聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，再利用k_OP+k_OQ=1，x₁•y₂+y₁•x₂=x₁x₂，求得m的值．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），把直線x+y-3=0與圓x²+y²-3x+my+m²=0聯(lián)立可得
2x²+（-m-9）x+m²+3m+9=0，∴x₁+x₂=$\frac{m+9}{2}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}+3m+9}{2}$．
∵k_OP+k_OQ=1，
∴x₁•y₂+y₁•x₂=x₁x₂，
∴x₁•x₂=x₁+x₂，
∴$\frac{{m}^{2}+3m+9}{2}$=$\frac{m+9}{2}$
∴m=0或-2．
經(jīng)檢驗(yàn)，m=0都符合題意．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的一般方程，韋達(dá)定理，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．