Question

已知x∈R，向量

a

=(sin2x ， cosx)，

b

=(1 ， 2cosx)，f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若α是第二象限角，f(

α

2

)=

4 2

5

cos(α+

π

4

)cos2α+1，求cosα-sinα的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,同角三角函數基本關系的運用

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的數量積的坐標運算和二倍角公式及兩角和的正弦公式，結合正弦函數的增區(qū)間，解不等式即可得到；
（2）運用兩角和差的正弦和余弦公式及二倍角的余弦公式，化簡整理討論sinα+cosα=0，sinα+cosα≠0，即可得到結論．

解答： 解：（1）由于

a

=(sin2x ， cosx)，

b

=(1 ， 2cosx)，
f（x）=

a

•

b

，
即有f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

 ， kπ+

π

8

]（k∈Z）．  
（2）由已知得，f（

α

2

）=

2

sin(α+

π

4

)+1=

4 2

5

cos(α+

π

4

)cos2α+1，
即sin(α+

π

4

)=

4

5

cos(α+

π

4

)cos2α，
所以，sinα+cosα=

4

5

(cosα-sinα)(cosα-sinα)(cosα+sinα)，
若sinα+cosα=0，則tanα=-1，所以cosα-sinα=-

2

；
若sinα+cosα≠0，則

4

5

(cosα-sinα)2=1，cosα-sinα=-

5

2

．
綜上，cosα-sinα的值為-

2

或-

5

2

．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標運算，考查正弦函數的單調區(qū)間，考查二倍角公式和兩角和差的正弦和余弦公式以及同角公式的運用，屬于中檔題和易錯題．