Question

1．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角B為銳角，且2sinAsinC=sin²B，則$\frac{a+c}$的取值范圍為（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}）$
• B． $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$

Answer 1

分析 正弦定理化簡已知的式子得2ac=b²，結合余弦定理求出（a+c）²，代入$\frac{a+c}$化簡后，由B的范圍和余弦函數的性質求出$\frac{a+c}$的取值范圍．

解答 解：在△ABC中，∵2sinAsinC=sin²B，∴由正弦定理得2ac=b²，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-2accosB=2ac，得（a+c）²=4ac+2accosB，
∴$\frac{a+c}$=$\sqrt{\frac{（a+c）^{2}}{^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4ac+2accosB}{2ac}}$=$\sqrt{2+cosB}$，
∵角B為銳角，
∴cosB∈（0，1），則$\sqrt{2+cosB}$$∈（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
∴$\frac{a+c}$$∈（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
故選：B．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的應用，以及余弦函數的性質方程思想，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．