Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求，的值；
（2）求；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

Answer 1

（1） （2）． （3）見(jiàn)解析

解析試題分析：
（1）分別令n=1,2,在根據(jù)的定義即可求的.
（2）利用與的關(guān)系(),即可消去得到關(guān)于的遞推式,整理可后利用疊乘法即可得到的通項(xiàng)公式,注意驗(yàn)證首項(xiàng).此外還可以先找規(guī)律得到通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.這也是可以的.
（3）由第二問(wèn)得是不可求和的數(shù)列,可以考慮放縮成為可求和的數(shù)列,跟據(jù)為分式,以此可以考慮放縮成為可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列,裂項(xiàng)求和即可證明相應(yīng)的不等式.
試題解析：
（1）當(dāng)時(shí)，有，解得．
當(dāng)時(shí)，有，解得．        2分
（2）（法一）當(dāng)時(shí)，有, ①
． ②
①—②得：，即：．                    5分
．
  ．                      8分
另解：．
又當(dāng)時(shí)，有， ．               9分[
（法二）根據(jù)，，猜想：．              3分
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，猜想成立．
（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即：．
那么當(dāng)時(shí)，有，
即：，①
又 ， ②
①-②得：，
解，得 ．
當(dāng)時(shí)，猜想也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得成立．              8分
（3），                 10分
 
 
 
．                       14分
考點(diǎn)：遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、放縮法證明不等式等