Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若，求證數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

(1)   (2)  （3）見解析

解析試題分析：
(1)把點(diǎn)帶入函數(shù)的解析式即可得到,利用數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可得,則分別令帶入式子即可得到的值.
(2)由(1)可得,則利用前n項(xiàng)和與之間的關(guān)系,令時(shí),然后驗(yàn)證首項(xiàng),即可得到的通項(xiàng)公式.
(3)把(2)得到的帶入,即可得到的通項(xiàng)公式,為求其前n項(xiàng)和,可以把進(jìn)行裂項(xiàng),進(jìn)而采用裂項(xiàng)求和的方法即可得到,再利用非負(fù)即可證明
試題解析：
（1）∵點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，
∴，                                      （1分）
∴，                                               （2分）
又，∴.                        （4分）
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，                             （6分）
由（1）知，滿足上式，                          （7分）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.                           （8分）
（3）由（2）得      （11分）

（12分）
                               （13分）
.                             （14分）
考點(diǎn)：裂項(xiàng)求和 不等式 數(shù)列前n項(xiàng)和