Question

6．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若對任意$x∈[-\frac{1}{2}，1]$，不等式f（x）≥|2x+a|-4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對x取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≤6的解集；
（2）利用等價轉(zhuǎn)化思想，可得|2x+a|≤8，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）1°當$x≤-\frac{1}{2}$時，-2x-1-2x+3≤6⇒x≥-2；
2°當$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$時，2x+1-2x+3≤6恒成立；
3°當$x≥\frac{3}{2}$時，4x-2≤6⇒x≤2
綜上，解集為[-2，2]；
（2）f（x）≥|2x+a|-4?|2x+a|≤8
即-8≤2x+a≤8$⇒\left\{\begin{array}{l}a-1≥-8\\ a+2≤8\end{array}\right.$⇒-7≤a≤6．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．