Question

20．已知等比數(shù)列{a_n}的公比是q，首項(xiàng)a₁＜0，前n項(xiàng)和為S_n，設(shè)a₁，a₄，a₃-a₁成等差數(shù)列，若S_k＜5S_k-4，則正整數(shù)k的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得公比，再由等比數(shù)列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．

解答 解：若a₁，a₄，a₃-a₁成等差數(shù)列，
可得2a₄=a₁+a₃-a₁=a₃，
即有公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
由S_k＜5S_k-4，可得$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜5•$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{k-4}}）}{1-\frac{1}{2}}$，
由a₁＜0，化簡(jiǎn)可得1-$\frac{1}{{2}^{k}}$＞5-$\frac{5}{{2}^{k-4}}$，
即為2^k＜$\frac{79}{4}$，可得正整數(shù)k的最大值為k為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．