Question

8．如圖所示，兩個非共線向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，N為OB中點，M為OA上靠近A的三等分點，點C在直線MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x、y∈R），則x²+y²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{4}{25}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據向量的加法及向量的共線定理求得x=$\frac{2}{3}$λ，y=$\frac{1}{2}$μ=$\frac{1}{2}$（1-λ），0＜λ＜1，則x²+y²=（$\frac{2}{3}$λ）²+$\frac{1}{4}$（1-λ）²=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1，利用二次函數的性質，即可求得x²+y²的最小值．

解答 解：因為點C、M、N共線，則$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OM}$+μ$\overrightarrow{ON}$=$\frac{2}{3}$λ$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$μ$\overrightarrow{OB}$，λ+μ=1，
由$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
x=$\frac{2}{3}$λ，y=$\frac{1}{2}$μ=$\frac{1}{2}$（1-λ），0＜λ＜1
x²+y²=（$\frac{2}{3}$λ）²+$\frac{1}{4}$（1-λ）²=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1
設g（λ）=$\frac{25}{36}$λ²-$\frac{λ}{2}$+$\frac{1}{4}$，0＜λ＜1，
由二次函數的性質可知：當λ=$\frac{9}{25}$時，g（λ）取最小值，
最小值為g（$\frac{9}{25}$）=$\frac{4}{25}$，
∴則x²+y²的最小值為$\frac{4}{25}$，
故選A．

點評 本題考查向量的共線定理，向量加法的應用，二次函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．