Question

15．若函數(shù)f（x）=ax³-ax²+x在區(qū)間（-1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）=ax³-ax²+x在區(qū)間（-1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（-1）f′（0）＜0，進(jìn)而驗(yàn)證a=-1與a=0時(shí)是否符合題意，即可求答案．

解答 解：由題意，f′（x）=3ax²-2ax+1，
a≠0時(shí)，當(dāng)f′（-1）f′（0）＜0即5a+1＜0時(shí)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，
解得：a＜-$\frac{1}{5}$，
當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x+1=0，在（-1，0）上恰有一根x=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，
綜上，a∈（-∞，-$\frac{1}{5}$）或a=-1，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{5}$）或-1．

點(diǎn)評(píng) 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法．