Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n²+n，設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）若對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+$\frac{1}{6}$＞b_n恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，由此利用裂項求和法能求出{b_n}的通項公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$，n∈N^*，得到n=1時，b_n取最大值$\frac{1}{6}$，推導(dǎo)出當(dāng)m∈[-1，1]時，t²-2mt＞0恒成立，令g（m）=t²-2mt，由$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={t}^{2}-2t＞0}\\{g（-1）={t}^{2}+2t＞0}\end{array}\right.$，能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=n²+n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+\frac{1}{2n（2n+1）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{n}{2{n}^{2}+3n+1}$
=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$．
（2）∵b_n=$\frac{1}{2n+\frac{1}{n}+3}$，n∈N^*，
令f（n）=2n+$\frac{1}{n}+3$，n∈N^*，則${f}^{'}（n）=2-\frac{1}{{n}^{2}}$，
由f′（n）＞0，得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜n＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由f′（n）＜0，得n＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或n＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵n∈N^*，∴n=1時，b_n取最大值$\frac{1}{6}$，
∵對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時，不等式t²-2mt+$\frac{1}{6}$＞b_n恒成立，
∴當(dāng)m∈[-1，1]時，不等式${t}^{2}-2mt+\frac{1}{6}$＞$\frac{1}{6}$恒成立，
即當(dāng)m∈[-1，1]時，t²-2mt＞0恒成立，
令g（m）=t²-2mt，則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={t}^{2}-2t＞0}\\{g（-1）={t}^{2}+2t＞0}\end{array}\right.$，
解得t＞2或t＜-2．
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)值的取值范圍的求法，考查構(gòu)造法、裂項求法、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．