Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+…+a_n=n-a_n，其中n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）令b_n=（2-n）（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的最大項．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計算題,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列并求得通項公式；
（2）由（1）求得數(shù)列{b_n}的通項公式，根據(jù)通項公式分析求解數(shù)列{b_n}的最大項．

解答： （1）證明：當n=1時，a₁=1-a₁，∴a1=

1

2

，
又a₁+a₂+…+a_n+1=n+1-a_n+1
∴a_n+1=1-a_n+1+a_n，即2a_n+1=1+a_n，∴an+1-1=

1

2

(an-1)，又a1-1=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，an-1=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴bn=(2-n)•(an-1)=

n-2

2n

，
∴bn+1-bn=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

3-n

2n+1

，
當n＜3時，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，當n=3時，b₄=b₃，
當n＞3時，b_n+1-b_n＜0，即b₄＞b₅＞b₆＞…；
∴數(shù)列{b_n}的最大項為b4=b3=

1

8

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的判定及應用，考查了學生的推理論證能力及運算能力，解題的關鍵是求得數(shù)列{a_n-1}的通項公式及數(shù)列{b_n}的通項公式，解題要認真細心．