Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，設(shè)f（1-m）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，可以大體畫出該函數(shù)圖象草圖，可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，縱坐標(biāo)越大，依此可構(gòu)造關(guān)于m的不等式．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
∴可畫出該函數(shù)的草圖如下：

可見，該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，函數(shù)值越大，
∵設(shè)f（1-m）＜f（m），∴|1-m|＞|m|，
∴（1-m）²＞m²，解得m＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：這是一道考查抽象函數(shù)的性質(zhì)的問題，一般采用數(shù)形結(jié)合的方法來解．本題還要注意絕對(duì)值不等式的轉(zhuǎn)化方法及變形依據(jù)．