Question

5．若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示．
（1）求ω的值．
（2）若x₀=$\frac{π}{4}$，且M、N、P三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，已知△ABC的三邊滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)函數(shù)的圖象，得到該函數(shù)的周期，然后，確定ω的值；
（2）結(jié)合所給三點(diǎn)成等差數(shù)列，得到x_N=$\frac{3π}{8}$，然后，確定φ=-$\frac{π}{4}$，最后，求解范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)圖象，得
$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=4，
（2）∵x₀=$\frac{π}{4}$，
∴x_M=$\frac{π}{4}$，x_P=$\frac{π}{2}$，
∵M(jìn)、N、P三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
∴2x_N=x_M+x_P，
∴x_N=$\frac{3π}{8}$，
∴sin（4×$\frac{π}{4}+$φ）=sin（$4×\frac{3π}{8}$+φ）
∴-sinφ=cosφ，
∴tanφ=-1，
∵-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{4}$）
∵b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∴0＜4B$≤\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜4B-$\frac{π}{4}$≤$\frac{13π}{12}$，
∵f（B）=sin（4B-$\frac{π}{4}$），
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜f（B）≤1，
∴f（B）的取值范圍（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．

點(diǎn)評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．