Question

【題目】四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，

E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．

（1）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得AF⊥PC．EF⊥PC．利用線面垂直的判斷定理可得PC⊥平面AEF．

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合半平面的法向量可得二面角的平面角的正弦值是.

試題解析：

（1）證明：∵PA＝CA，F為PC的中點(diǎn)，

∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點(diǎn)，F為PC中點(diǎn)，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．∵AF∩EF＝F，

∴PC⊥平面AEF．

（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為

軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

可求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，

所以 .