Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+bx$（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=f′（2）=1，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可求出f（x）的解析式，從而求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=x²-2ax+b，
由f′（0）=f′（2）=1即$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 4-4a+b=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
則f（x）的解析式為$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+x$，即有f（3）=3，f′（3）=4
所以所求切線方程為4x-y-9=0．
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，
∴$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$，∴g′（x）=x²-2x-3，
由g′（x）=x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
由g′（x）=x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
∵x∈[-3，2]，
∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-3，-1]，減區(qū)間為（-1，2]，
∵$g（-3）=-9＜g（2）=-\frac{22}{3}$，
∴g（x）的最小值為-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及求切線方程問題，是一道中檔題．