Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的點P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）到其左、右焦點F₁、F₂的距離之和等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過點F₁且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與橢圓交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知點的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點P到F₁、F₂兩點的距離之和是4，
得2a=4，即a=2，
又點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
因此$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，得b²=3，于是c²=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直線l的方程為y=x+1，
與橢圓方程聯(lián)立，可得7x²+8x-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4•（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$．

點評 本題主要考查橢圓的方程與簡單性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．